Analyse fonctionnelle

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Rappel et compléments sur les espaces métriques et espaces normés

  1. Lemme de Zorn.
    (Relation d'ordre, ensemble ordonné)
    Soient $X$ un ensemble et $\leqslant$ une relation binaire sur $X$.
    On dit que $\leqslant$ est une relation d'ordre sur $X$ si elle respecte les propriétés suivantes :
    • $\leqslant$ est réfléxive : $\forall x \in X , \qquad x \leqslant x$
    • $\leqslant$ est antisymétrique : $\forall x,y \in X , \qquad x \leqslant y \ \text{ et } \ y \leqslant x \quad \Rightarrow \quad x=y$
    • $\leqslant$ est transitive : $\forall x,y,z \in X , \qquad x \leqslant y \ \text{ et } \ y \leqslant z \quad \Rightarrow \quad x \leqslant z$
    On note alors $(X;\leqslant)$ l'ensemble $X$ ordonné par la relation d'ordre $\leqslant$.
    (Relation d'ordre totale, partielle)
    Soient $X$ un ensemble et $\leqslant$ un relation d'ordre sur $X$.
    On dit que $\leqslant$ est totale sur $X$ si $$\forall x,y \in X , \qquad x \leqslant y \ \text{ ou } \ y \leqslant x$$
    On dit alors que $X$ est totalement ordonné par $\leqslant$.
    Une relation d'ordre sur $X$ est dite partielle sur $X$ si elle n'est pas totale sur $X$.
    (Ensemble ordonné inductif)
    Soit $(X;\leqslant)$ un ensemble ordonné.
    On dit que $(X;\leqslant)$ est inductif si toute partie $A$ de $X$ telle que $A$ est totalement ordonnée par $\leqslant$ admet un majorant dans $X$ : $$\exists x \in X , \ \forall a \in A , \qquad a \leqslant x$$
    (Elément maximal)
    Soit $(X;\leqslant)$ un ensemble ordonné.
    On appelle élément maximal de $(X;\leqslant)$ (ou de $X$ lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la relation d'ordre) un élément tel qu'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur par la relation d'ordre $\leqslant$.
    Formellement : $$ (m \in X \text{ est maximal de } (X;\leqslant) ) \qquad \Leftrightarrow \qquad (\forall x \in X , \quad m \leqslant x \quad \Rightarrow \quad m=x)$$
    (Lemme de Zorn)
    Tout ensemble ordonné non vide indictif $(X;\leqslant)$ admet au moins un élément maximal.
    A faire...
    EXERCICE
  2. Espaces métriques.
    (Distance, métrique)
    Soit $X$ un ensemble.
    On appelle distance ou métrique sur $X$ toute application $d$ définie par $d : X \times X \rightarrow \mathbb{R}^+$ vérifiant les propriétés suivantes :
    • la symétrie : $\forall x , y \in X , \qquad d(x;y)=d(y;x)$
    • la séparation : $\forall x,y \in X , \qquad d(x;y)=0 \quad \Rightarrow \quad x=y$
    • la sous-additivité (ou l'inégalité triangulaire) : $\forall x,y,z \in X , \qquad d(x;z) \leqslant d(x;y)+d(y;z)$
    (Espace métrique)
    On appelle espace métrique tout ensemble $X$ muni d'une distance $d$ et note $(X;d)$ cet espace métrique.
    (Norme)
    Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
    On appelle norme toute application $\left \| . \right \| : E \rightarrow \mathbb{R}^+$ vérifiant les propriétés suivantes :
    • la séparation : $\forall x \in E , \qquad \|x\|=0 \quad \Rightarrow \quad x=0$
    • l'homogénéité : $\forall x \in E , \forall \lambda \in \mathbb{R} \text{ (ou }\mathbb{C} \text{)} , \qquad \|\lambda x\| = |\lambda |\|x\|$
    • la sous-additivité (ou l'inégalité triangulaire) : $\forall x,y \in E , \qquad \|x+y\| \leqslant \|x\|+\|y\|$
    (Espace vectoriel normé)
    On appelle espace vectoriel normé tout espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ muni d'une norme $\left \| . \right \|$ sur $E$.
    On note $(E;\left \| . \right \|)$ cet espace vectoriel normé.
    (Distance induite)
    Soit $(E;\left \| . \right \|)$ un espace vectoriel normé sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
    On appelle distance induite par la norme $\left \| . \right \|$ l'application définie par : $$ \begin{matrix} d : & E \times E & \rightarrow & \mathbb{R}^+ \\ & (x;y) & \mapsto & {\left \| x-y \right \|} \end{matrix} $$

    EXEMPLE
    (Boule ouverte, boule fermée)
    Soit $(X;d)$ un espace métrique.
    On appelle boule ouverte de centre $x \in X$ et de rayon $r>0$ l'ensemble définie par : $$ B(x,r) = \left \{ y \in X \ \mid \ d(x;y) < r \right \} $$ On appelle boule fermée de centre $x \in X$ et de rayon $r>0$ l'ensemble définie par : $$ B_{f}(x,r) = \left \{ y \in X \ \mid \ d(x;y) \leqslant r \right \} $$
    (Ensemble ouvert)
    Soit $(X;d)$ un espace métrique.
    $A \subset X$ est dit ouvert de $X$ si : $ \forall x \in A , \exists r > 0 , \quad B(x,r) \subset A $.
    Autremnt dit $A$ s'écrit comme union de boules ouvertes.

    EXEMPLE
    (Ensemble fermé)
    Soit $(X;d)$ un espace métrique.
    $A \subset X$ est dit fermé de $X$ si $ \complement_{X} A $ est ouvert.
    (Adhérence d'un ensemble)
    Soit $(X;d)$ un espace métrique.
    On appelle adhérence de $A \subset X$ l'intersection de tout les fermés de $X$ contenant $A$.
    On note $\overline{A}$ l'adhérence de $A$.
    (Plus petit fermé)
    Soient $(X;d)$ un espace métrique et $A \subset X$.
    $\overline{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$.
    A faire...
    (???)
    Soient $(X;d)$ un espace métrique et $A \subset X$.
    $x \in \overline{A} \quad \Leftrightarrow \quad \exists(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} , \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} d(x;x_{n}) = 0$
    On dit que $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $x$.
    A faire...
    (???)
    Soient $(X;d)$ un espace métrique, $A \subset X$ et $B \subset X$.
    • $A \subset B \quad \Rightarrow \quad \overline{A} \subset \overline{B}$
    • $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
    • $A = \overline{A} \quad \Leftrightarrow \quad A \text{ est un fermé} $
    A faire...
    (Intérieur d'un ensemble)
    Soient $(X;d)$ un espace métrique et $A \subset X$.
    On appelle intérieur de $A$ l'ensemble définie par : $$ \mathring{A} = \left \{ x \in A \ \mid \ \exists r>0 , \ B(x;r) \subset A \right \} = \complement_{X} \left (\overline{\complement_{X} A} \right )$$
    (Valeur d'adhérence d'une suite)
    Soient $(X;d)$ un espace métrique et $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subset X$.
    On appelle valeur d'adhérence de la suite $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ le point $x \in X$ vérifiant la propriété suivante :
    il existe une sous suite $(x_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$ de $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $x = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (x_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$

    EXERCICE
    (Fonction continue en un point)
    Soient $(X;d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques.
    Une fonction $f : (X;d) \rightarrow (Y,\delta)$ est dite continue au point $x \in X$ si $f$ vérifie une des propriété suivante :
    • $\forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall y \in X, \qquad d(x;y) < \eta \quad \Rightarrow \quad \delta (f(x));f(y)) $
    • $\forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0, \qquad f(B(x;\eta)) \subset B(f(x),\epsilon)$
    • $\forall (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subset X , \qquad (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[\text{dans } (X;d)]{} x \quad \Rightarrow \quad (f(x_{n}))_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[\text{dans } (Y,\delta)]{} f(x) $
    (Fonction continue)
    Soient $(X;d)$ et $(Y,\delta)$ deux espaces métriques.
    Une fonction $f : (X;d) \rightarrow (Y,\delta)$ est dite continue sur $X$ si $f$ est continue en tout point de $X$.
    (Propriétés équivalentes d'une fonction continue)
    Soient $(X;d)$, $(Y,\delta)$ deux espaces métriques et $f : (X;d) \rightarrow (Y,\delta)$.
    Donc :
    $f : (X;d) \rightarrow (Y,\delta) \text{ est continue}$
    $\Leftrightarrow \forall U \subset Y \text{ ouvert } , \qquad f^{-1}(U) \text{ est un ouvert de } X$
    $\Leftrightarrow \forall A \subset X, \qquad f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$
    A faire...
    (Fonction uniformément continue)
    Soient $(X;d)$, $(Y,\delta)$ deux espaces métriques et $f : (X;d) \rightarrow (Y,\delta)$.
    On dit que $f$ est uniformément continue si : $$\forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall x,y \in X, \qquad d(x;y) < \eta \quad \Rightarrow \quad \delta (f(x);f(y)) < \epsilon$$
    (Fonction lipschitzienne)
    Soient $(X;d)$, $(Y,\delta)$ deux espaces métriques et $f : (X;d) \rightarrow (Y,\delta)$.
    On dit que $f$ est lipschitzienne de rapport $c \geqslant 0$ si : $$\forall x,y \in X, \qquad \delta (f(x);f(y)) \leqslant c.d(x;y)$$
    (Implications d'une fonction lipschitzienne)
    Soient $(X;d)$, $(Y,\delta)$ deux espaces métriques et $f : (X;d) \rightarrow (Y,\delta)$.
    $$f \text{ lipschitzienne } \quad \Rightarrow \quad f \text{ uniformément continue } \quad \Rightarrow \quad f \text{ continue }$$
    A faire...
    (Distances topologiquement équivalentes)
    Soient $(X;d_{1})$ et $(X;d_{2})$ deux espaces métriques.
    On dit que $d_{1}$ et $d_{2}$ sont topologiquement équivalentes si les applications identités définies par $ \begin{matrix} id_{1;X} : & (X;d_{1}) & \rightarrow & (X;d_{2}) \\ & x & \mapsto & x \end{matrix} $ et $ \begin{matrix} id_{2;X} : & (X;d_{2}) & \rightarrow & (X;d_{1}) \\ & x & \mapsto & x \end{matrix} $ sont continues.
    (Distance uniformément équivalentes)
    Soient $(X;d_{1})$ et $(X;d_{2})$ deux espaces métriques.
    On dit que $d_{1}$ et $d_{2}$ sont uniformément équivalentes si les applications identités définies par $ \begin{matrix} id_{1;X} : & (X;d_{1}) & \rightarrow & (X;d_{2}) \\ & x & \mapsto & x \end{matrix} $ et $ \begin{matrix} id_{2;X} : & (X;d_{2}) & \rightarrow & (X;d_{1}) \\ & x & \mapsto & x \end{matrix} $ sont uniformément continues.
    (Distance géométriquement équivalentes)
    Soient $(X;d_{1})$ et $(X;d_{2})$ deux espaces métriques.
    On dit que $d_{1}$ et $d_{2}$ sont géométriquement équivalentes si les applications identités définies par $ \begin{matrix} id_{1;X} : & (X;d_{1}) & \rightarrow & (X;d_{2}) \\ x & \mapsto & x \end{matrix} $ et $ \begin{matrix} id_{2;X} : & (X;d_{2}) & \rightarrow & (X;d_{1}) \\ & x & \mapsto & x \end{matrix} $ sont lipschitziennes.

    COMMENTAIRE
  3. Espaces métriques compacts.
    (Sous ensemble compact)
    Soient $(X;d) un espace métrique.
    On appelle compact tout sous-ensemble $A$ de $X$ si l'une des propriétés équivalantes suivantes est vérifié :
    • $\forall (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subset A, \exists (x_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}} \subset (x_{n})_{n \in \mathbb{N}}, \exists x \in A, \qquad (x_{n_{k}})_{k \in \mathbb{N}} \rightarrow x$
    • $\forall (U_{i})_{i \in I} \text{ ouvert de } (X;d) \text{ telle que } A \subset \bigcup_{i \in I} U_{i}, \exists J \subset I \text{ fini telle que } A \subset \bigcup_{i \in J} U_{i}$
    • $\forall (U_{n})_{n \in \mathbb{N}} \text{ ouvert de } (X;d) \text{ telle que } A \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} U_{n}, \exists J \subset I \text{ fini telle que } A \subset \bigcup_{n \in J} U_{n}$

    EXERCICE
  4. Espaces métriques complets.
    (Suite de Cauchy)
    Soit $(X;d)$ un espace métriques.
    On dit que $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subset X$ est une suite de Cauchy (ou est de Cauchy) si : $$\forall \epsilon > 0, \exists N_{0} \in \mathbb{N}, \forall m \in \mathbb{N}, \qquad d(x_{n},x_{m}) < \epsilon$$
    (Espace métrique complet)
    Soit $(X;d)$ un espace métriques.
    On dit que $(X;d)$ est complet si toute suite de Cauchy admet une limite dans $X$.
    (Espace de Banach)
    On appelle espace de Banach est un espace vectoriel normé complet (pour la distance donnée par la norme).

    EXERCICE

Théorème de Stone-Weierstrass et théorème d'Arzelà-Ascoli

  1. Théorème de Stone-Weierstrass.
    (Théorème de Weierstrass)
    Toute fonction continue $f : [0;1] \rightarrow \mathbb{R}$ est une limite uniforme d'une suite de polynôme.
    Formellement : $$ \forall f \in C([0;1];\mathbb{R}) , \exists (P_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}[X], \qquad P_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} f$$
    A faire...

    EXEMPLE + GRAPHIQUE
    COMMENTAIRE
    (Ensemble des fonctions continues)
    Soit $(X;\mathcal{T})$ un espace topologique compact.
    On note $C(X)$ l'ensemble des fonctions continues sur $X$ dans $\mathbb{R}$.
    Formellement : $$ C(X) = \left \{ f : X \rightarrow \mathbb{R} \ \mid \ f \text{ est continue } \right \}$$
    (Distance uniforme sur l'ensemble des fonctions continues)
    On appelle distance uniforme sur $C(X)$ la distance $d_{\infty}$ par : $$ \begin{matrix} d_{\infty} : & C(X) \times C(X) & \rightarrow & \mathbb{R}^+ \\ & (f,g) & \mapsto & { \sup_{x \in X} \left | f(x) - g(x) \right | } \end{matrix} $$ Comme $X$ est un compact,
    $\forall f,g \in C(X), \qquad d_{\infty}(f,g) \in \mathbb{R}$
    (Convergence uniforme sur un espace compact d'une suite de fonction continue)
    Soient $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subset C(X)$ et $f \in C(X)$.
    On dit que la suite $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$, et on note $f_{n} : \xrightarrow[]{d} f$ si : $$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} , \forall n \geqslant N , \qquad \sup_{x \in X} \left | f(x) - g(x) \right | < \epsilon$$
    (Topologie de la convergence uniforme sur un espace topologique compact)
    Soit $(X;\mathcal{T})$ un espace topologique compact.
    On appelle topologie de la convergence uniforme sur $X$ la topologie induite par $d_{\infty}$ sur $C(X)$.

    EXEMPLE
    (Lemme de Dini)
    Soit $(X;d)$ un espace métrique compact, $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in C(X)^\mathbb{N}$ qui converge vers $f : X \to \mathbb{R} \in C(X)$.
    Si $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ est monotone alors $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$.
    A faire...
    (Lemme de Weierstrass)
    La fonction $ \begin{matrix} \sqrt{.} : & \left[ 0 ; 1 \right] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \sqrt{x} \end{matrix} $ est limite uniforme d'une suite de polynôme. Autrement dit : $$ \forall \epsilon > 0, \ \exists p : \left[ 0 ; 1 \right] \rightarrow \mathbb{R} \qquad \text{tel que} \qquad \sup_{x \in \left[ 0 ; 1 \right]} \left| p(x) - \sqrt{x} \right| \leqslant \epsilon $$
    A faire...
    (Algèbre sur l'ensemble des fonctions continues sur un espace compact)
    Soit $ L \subset C(X). $
    On dit que $L$ est une algèbre si $L$ vérifie : $$ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \forall f , g \in L , \qquad \lambda f + g \in L \ \text{et} \ f g \in L $$
    EXEMPLE
    (Lemme ???)
    Soit $ L \subset C(X) $ une algèbre.
    Suposons que $L$ soit fermé pour la topologie de la convergeance uniforme ($\overline{L} = L$)
    Alors : $$ \forall f , g \in L, \qquad \max \left( f ; g \right) \in L , \qquad \min \left( f ; g \right) , \qquad \left| f \right| \in L $$
    A faire...
    (Algèbre de l'ensemble des fonctions continues qui sépare les points sur un espace compact)
    Soit $ L \subset C(X)$
    On dit que $L$ sépare les points de $X$ si : $$ \forall x,y \in X, \ x \neq y, \ \exists f \in L, \qquad f(x) \neq f(y) $$
    EXERCICE
    (Implications d'une algèbre de l'ensemble des fonctions continues qui sépare les points sur un espace compact)
    Soit $ L \subset C(X) $ une algèbre qui sépare les points de $ X $ et $ 1 \in L $.
    Alors : $$ \forall u,v \in X, u \neq v , \ \forall a,b \in \mathbb{R}, \ \exists f \in L, \qquad f(u) = a \ , \ f(v) = b $$
    A faire...
    (Théorème de Stone-Weierstrass)
    Soit $ X $ un espace compact et $ L \subset C(X) $ une algèbre contenant les constantes et séparant les points de $ X $.
    Alors $ \overline{L} = C(X) $
    A faire...
    (Corollaire du théorème de Stone-Weierstrass)
    L'ensemble des fonctions polynômes sur $ \left[ 0 ; 1 \right] $ est uniformément dense dans $ C\left( {\left[ 0 ; 1 \right]} \right) $.
    Soit $ P $ l'ensemble des polynômes.
    Posons $ L = \overline{P} $.
    $ L $ est une algèbre, elle sépare les éléments de $ \left[ 0 ; 1 \right] $ et contient les constantes.
    (Théorème de Stone-Weierstrass dans le cas complexe)
    Soit $ X $ un espace compact et $ L \subset C(X ; \mathbb{C}) $ une algèbre fermée séparant les points de $ X $ et contenant les constantes.
    Si $ L $ est stable par conjugaison, alors $ L = C(X ; \mathbb{C}) $
    A faire...
    EXEMPLE
  2. Théorème d'Arzelà-Ascoli : Problème.
  3. Soit $ X $ un espace topologique.
    L'ensemble $ C_b (X) $ est l'ensemble des fonctions continues $ f : X \rightarrow \mathbb{R} $ bornées.
    Ainsi, $ \left( C_b (X) ; \|.\|_{\infty} \right) $ n'est pas compact.
    Etant donnée $ A \subset C_b (X) $, à quelles conditions (raisonnable) $ A $ est compact ?

  4. Théorème d'Arzelà-Ascoli : Rappel sur la compacité dans les espaces métriques.
  5. Soit $ ( X ; d ) $ un espace métrique.
    Alors : $ ( Y ; d ) \text{ compact } \Leftrightarrow ( Y ; d ) \text{ est complet et précompact } $.
    $( Y ; d )$ est précompact si et seulement si une des conditions équivalentes suivantes est satisfait :
    • Toute suite d'éléments de $ Y $ admet une sous-suite de Cauchy.
    • $ \forall \epsilon > 0$, on peut écrire $ Y = \cup_{k=1}^{n} Y_k $ avec $ \forall k \leqslant n, \ \text{diam}(Y_i) < \epsilon $.

  6. Théorème d'Arzelà-Ascoli.
    (Equicontinuité en un point)
    Soient $ X $ un espace topologique, $ A \subset C(X) $ et $ x_0 \in X $.
    On dit que $ A $ est équicontinue au point $ x_0 $ si : $$ \forall \epsilon > 0, \ \exists V \in \mathcal {V}(x_0), \forall x \in V, \forall f \in A, \qquad \left| f(x) - f(x_0) \right| < \epsilon $$
    (Ensemble équicontinu)
    Soient $ X $ un espace topologique et $ A \subset C(X) $.
    On dit que $ A $ est équicontinue sur $ X $ si $ \forall x_0 \in X $, $ A $ est équicontinue en $ x_0 $.
    EXEMPLES
    (Propriétés sur l'équicontinuité en un point)
    Soient $ A \subset C(X) $ et $ B \subset C(X)$.
    • Si $ B $ est équicontinue en $ x_0 $ et $ A \subset B $, alors $ A $ est équicontinue au point $ x_0 $.
    • Si $ A $ et $ B $ sont équicontinues, alors $ A \cup B $ est équicontinue au point $ x_0 $.
    • Si $ A $ est équicontinue en $ x_0 $, alors $ \overline{A} $ (l'afhérence pour la distance induite par $ \|.\|_{\infty}) $ est équicontinue au point $ x_0 $.
    Remarque : Le résultat est encore vrai si on remplace $ \overline{A} $ par l'adhérence de $ A $ pour la convergence simple.
    A faire...
    (Ensemble équiborné en un point)
    Soient $ A \subset C(X) $ et $ x_0 \in X $.
    On dit que $ A $ est équiborné au point de $ x_0 $ si l'ensemble $ \left \{ f(x_0) \ \mid \ f \in A \right \} $ est borné dans $ \mathbb{R} $, c'est-à-dire : $ \exists M \geqslant 0, \ \forall f \in A , \ \left| f(x_0) \right| \leqslant M $.
    (Compact équiborné et équicontinu)
    Soient $ X $ un espace compact et $ A \subset C(X) $.
    Si $ A $ est un compact de $ ( C(X) ; \left\|.\right\|_{\infty} ) $ alors :
    • $ A $ est équiborné.
    • $ A $ est équicontinue.
    A faire...
    REMARQUE
    (Théorème d'Arzelà-Ascoli)
    Soient $ X $ un espace compact et $ A \subset C(X) $ un fermé de $ C(X) $ (pour la distance de la convergence uniforme).
    Alors $ A $ est compact si et seulement si $ A $ est équicontinue et équiborné.
    A faire...
    (Corollaire du théorème d'Arzelà-Ascoli)
    Soient $ X $ un espace compact et $ (f_n)_{ n \in \mathbb{N} } $ une suite de fonctions continues définies sur $ X $ à valeurs réelles.
    Si $ \left \{ f_n \ \mid \ n \in \mathbb{N} \right \} $ est équicontinue et équiborné, alors $ (f_n)_{ n \in \mathbb{N} } $ admet une sous-suite qui converge uniformément dans $ C(X) $.
    A faire...

Théorème de Baire (dans le cadre des espaces métriques complexes)

Théorème de Hahn-Banach

Dualité dans les espaces de Banach

Dual de $L^{p} , p \in [1;+\infty]$