Algèbre 3

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En attendant la rédaction de cette partie, voir ici : https://drive.google.com/drive/folders/0Bxaln5PmDXA1NWFYZVdBamRHNm8

Arithmétique de base

  1. Division euclidienne

    On suppose connue la construction de $\mathbb{N}$ (avec les cinq axiomes de Peano).

    (Théorème fondamental de $\mathbb{N}$)
    Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément.
    .....................
    (Corolaire du théorème fondamental de $\mathbb{N}$)
    Toute partie de $\mathbb{N}$ non vide et majorée admet un plus grand élément.
    .....................
    (Théorème de la division euclidienne)
    $\forall \left(a ; b\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*,\ \exists ! \left(q ; r\right) \in \mathbb{N}^2,$
    • $a = bq + r$
    • $0 \leqslant r \lt b$
    $q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.
    Soient $\left(a ; b\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$.
    Soit $ A = \left\{q \in \mathbb{N} ~\middle|~ a \lt b(q+1) \right\} $.
    Pour appliquer le théorème fondamental de $\mathbb{N}$, il faut d'abord montrer que $A \neq \emptyset$.
    Si $a=0$, c'est évident car $\forall q \in \mathbb{N}, \ 0 \lt b(q+1)$ donc $b\neq 0$.
    Sinon, on a $b \geqslant 1$, donc $a \in A$, donc $A \neq \emptyset$.
    D'après le théorème fondamental de $\mathbb{N}$, soit $q$ le plus petit élément de $A$. Posons $r = a - bq$ et montrons que $0 \leqslant r \lt b$.
    Comme $q$ est le plus petit élément de $A$, $q - 1 \notin A$, donc $a \geqslant b(q - 1 + 1) = bq$.
    $ a \geqslant bq \Rightarrow a - bq \geqslant 0 \Rightarrow r \geqslant 0$
    $ a \lt b(q + 1) \Rightarrow a - bq \lt b \Rightarrow r \lt b$
    On a donc existence de $\left(q; r\right)$.
    Montrons l'unicité : soit $\left(q_1; r_1\right) \in \mathbb{N}^2$ un autre couple vérifant le système :
    $ \begin{cases} a = bq + r \\ a = bq_1 + r_1 \end{cases} \Rightarrow bq + r = bq_1 + r_1 \Rightarrow b(q - q_1) = r_1 - r$
    $ \begin{cases} 0 \leqslant r1 \lt b \\ 0 \leqslant r \lt b \end{cases} \Rightarrow \left|r_1 - r\right| \lt b$
    Si $q - q_1 \neq 0$, on obtient $b\left|q - q_1\right| \geqslant b$, ce qui est une contradiction. Donc $q = q_1$, d'où $r = r_1$.
  2. Arithmétique dans $\mathbb{Z}$
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