Analyse approfondie : Opérateurs

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Espaces de Hilbert

  1. Espaces préhilbertiens : $ \mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C} $
    (Espace préhilbertien)
    Un espace préhilbertien est un espace vectoriel sur $ \mathbb{K} $ muni d'une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive (bilinéaire symétrique sur $ \mathbb{R} $) noté $\left<\cdot ~;~ \cdot\right> ~:~ H \times H \to \mathbb{K} $ qui possède les propriétés suivantes :
    1. Linéarité : $ \forall y \in H , \ x \ \mapsto \ \left< x;y \right> $
    2. Symétrie hermitienne : $ \forall x,y \in H ,\left< x;y \right> = \overline{\left< y;x \right>} $
    3. Positive : $ \forall x \in H ,\left< x;x \right> \in \mathbb{R}_+ $
    4. Définie : $ \forall x \in H ,\left< x;x \right> = 0 \ \Rightarrow \ x = 0 $
    Remarque :
    • Cas dans $ \mathbb{R} $ : 1. et 2. $ \ \Rightarrow \ $ $ y \ \mapsto \ \left< x;y \right> \ $ est linéaire
    • Cas dans $ \mathbb{C} $ : $\left< x;\alpha y + \beta z \right> ~=~ \overline{\alpha}\left< x; y \right> +~ \overline{\beta}\left< x; z \right> $
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