Enseignement de 2^de 2024-2025

Ensembles de nombres

1. Ensembles usuels

   (Ensemble)

   On appelle ensemble un rassemblement d'objets distincts. Il est généralement noté par une lettre majuscule. Si deux ensembles distincts possèdent la même lettre, on les distingue avec des indices.

   (Elément)

   Soit $E$ un ensemble.
   On appelle élément de $E$ tout objet appartenant à $E$.
   Si $x$ est un objet de $E$, on dira que $x$ appartient à $E$ et on notera $x \color{red}\in E$.
   Si $x$ n'est pas un objet de $E$, on dira que $x$ n'appartient pas à $E$ et on notera $x \color{red}\notin E$.

   (Ensemble des entiers naturels)

   On appelle ensemble des entiers naturels l'ensemble des nombres entiers qui sont positifs.
   On note $\mathbb{N}$ cet ensemble. On a donc : \[ \mathbb{N} = \left\{ n ~\middle|~ n \text{ est un nombre entier positif}\right\} = \left\{0;1;2;3;4;5;6;7;...\right\} \]

   (Ensemble des nombres relatifs)$\label{Nombre relatif}$

   On appelle ensemble des nombres relatifs l'ensemble des nombres entiers qui sont positifs ou négatifs.
   On note cet ensemble $\mathbb{Z}$ et on a : \[ \mathbb{Z} = \left\{n ~\middle|~ n \text{ est un nombre entier positif ou négatif} \right\} = \left\{... ;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\right\} \]

   (Ensemble des décimaux)

   On appelle ensemble des nombres décimaux l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre de chiffres fini après la virgule. Donc il peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{Z}$.
   On note cet ensemble $\mathbb{D}$ et on a : \[ \mathbb{D} = \left\{\frac{a}{10^n} ~\middle|~ a \in \mathbb{Z} , n \in \mathbb{Z} \right\} \]

   (Exclusion du nombre 0)

   En cas de besoin, il est possible d'exclure le nombre $0$ d'un ensemble à l'aide du symbole $^*$. Ainsi :

   \begin{aligned}% Utiliser & pour aligner en colonne. Enlever * pour numéroter chaque ligne et \nonumber en fin de ligne pour enlever la numérotation \mathbb{N}^* & = \left\{1;2;3;4;5;6;7;...\right\} \\ \mathbb{Z}^* & = \left\{... ;-3;-2;-1;1;2;3;...\right\} \\ \text{etc.} \end{aligned}

   (Fraction)

   On appelle fraction l'écriture d'un quotien avec un numérature entier et un dénominateur non nul entier.
   Si l'écriture $\frac{a}{b}$ est une fraction, alors $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$.

   (Ensemble des nombres rationnels)

   On appelle ensemble des nombres rationnels l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction. On note cet ensemble $\mathbb{Q}$ et on a : \[ \mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} ~\middle|~ a \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{Z} ^* \right\} \]

   (Infini)

   Attention : cette définition n'est pas rigoureuse. C'est une notion intuitive, mais délicate à formaliser.
   On appelle infini une limite que les nombres ne pourront jamais atteindre.
   On note $+\infty$ la limite dont tous les nombres sont plus petits.
   On note $-\infty$ la limite dont tous les nombres sont plus grands.
   Il est important de souligner que $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres. Ils ne peuvent pas être utilisés dans les opérations (addition, multiplication, etc.).

   (Ensemble des nombres réels)

   On appelle ensemble des nombres réels l'ensemble des nombres qui sont plus petit que $+\infty$ et qui sont plus grand que $-\infty$.
   On note cet ensemble $\mathbb{R}$.

   (Ensemble des nombres irrationnels)

   On appelles ensemble des nombres irrationnels l'ensemble des nombres qui sont réels et qui ne sont pas rationnels. On le note $\mathbb{Q}'$ ou encore $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. On a donc : \[ \mathbb{Q}' = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} = \left\{x ~\middle|~ x \in \mathbb{R} , x \notin \mathbb{Q} \right\} \]

   (Diagramme d'Euler)

   On appelle diagramme d'Euler une représentation graphique utilisée pour illustrer les relations entre différents ensembles.

   La représentation graphique suivante des ensembles usuels est un diagramme d'Euler. La zone hachuré représente $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$

   (Quantificateur universel)

   On appelle quantificateur universel un opérateur logique, noté $\forall$, utilisé pour exprimer l'idée que tous les éléments d'un ensemble donné possèdent une certaine propriété.
   Le symbole $\forall$ se lit « pour tout » ou « quel que soit ».

   (Quantificateur existenciel)

   On appelle quantificateur existentiel un opérateur logique, noté $\exists$ , utilisé pour exprimer l'idée qu'il existe au moins un élément dans un ensemble donné qui possède une certaine propriété.
   Le symbole $\exists$ se lit « il existe ».

   (Inclusion, sous-ensemble, sur-ensemble)

   Soient $A$ et $B$ deux ensembles.
   On dit que $A$ est inclus dans $B$, et on note $A \color{red}\subset B$, si tous les éléments de $A$ sont aussi des éléments de $B$.
   Dans ce cas, on dit aussi que $A$ est un sous-ensemble de $B$, ou encore que $B$ est un sur-ensemble de $A$.
   Autrement dit : \[ A \color{red}\subset B \quad \Leftrightarrow \quad \forall a \in A,\ a \in B \]
   Si $A$ n'est pas inclus dans $B$ on notera $A \color{red}\not\color{red}\subset B$.

   (Inclusion des ensembles usuels)

   • $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$
   • $\mathbb{Z}$ est un sous-ensemble de $\mathbb{D}$ : $\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$
   • $\mathbb{Q}$ est un sur-ensemble de $\mathbb{D}$ : $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$
   • $\mathbb{Q}$ est inclus dans $\mathbb{R}$ : $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

   Autrement dit : \[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]

   • Soit $n \in \mathbb{N}$.
     Donc $n$ est un entié positif. Mais d'après la définition $\ref{Nombre relatif}$, tout entier positif ou négatif appartient à $\mathbb{Z}$ donc $n \in \mathbb{Z}$. On en conclue que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$.
   • Soit $n \in \mathbb{Z}$. \[ n = \frac{n}{1} = \frac{n}{10^0} \] Donc d'après la définition \ref{Nombre décimal}, $n \in \mathbb{D}$. On en conclue que $\mathbb{N}\subset\mathbb{D}$.
   • Soit $d \in \mathbb{D}$. Donc d'après la définition \ref{Nombre décimal} : \[ \exists a \in \mathbb{Z}, \exists n \in \mathbb{Z}, \quad d = \frac{a}{10^n} \] D'après la définition \ref{Nombre rationnel}, il faut montrer que $d$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction.
     Si $n \geqslant 0$, il est claire que l'écriture $\frac{a}{10^n}$ est une fraction. En effet on aura $a \in \mathbb{Z}$ et $10^n \in \mathbb{Z}^*$
     Si $n < 0$ , alors l'écriture $\frac{a}{10^n}$ n'est pas une fraction. En effet, $a \in \mathbb{Z}$ mais $10^n \notin \mathbb{Z}$.
     Dans ce cas, on remarque que si $n < 0$ alors $-n > 0$ et donc : \[ \frac{a}{10^n} = \frac{a \times 10^{-n}}{10^{n} \times 10^{-n}} = \frac{a \times 10^{-n}}{10^{n-n}} = \frac{a \times 10^{-n}}{10^0} = \frac{a \times 10^{-n}}{1} \] Avec cette écriture, on a $a \in \mathbb{Z}$, $10^{-n} \in \mathbb{Z}$, donc $a \times 10^{-n} \in \mathbb{Z}$. Autrement dit le numérateur est un entier.
     De plus il est claire que le dénominateur $1$ est dans $\mathbb{Z}^*$. Donc $\frac{a \times 10^{-n}}{1}$ est une fraction et donc $d$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction.
     On vient de montrer que, dans tous les cas, $d$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Donc $d \in \mathbb{Q}$. On en conclue alors que $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$.
   • Soit $q \in \mathbb{Q}$. D'après la définition \ref{Nombre rationnel} on a : \[ \exists a \in \mathbb{Z}, \exists b \in \mathbb{Z}^*, \quad q = \frac{a}{b} \] D'après la définiton \ref{Infini}, le résultat d'une telle division $\frac{a}{b}$ est forcement plus grand que $-\infty$ et est forcement plus petit que $+\infty$.
     Donc d'après la définition \ref{Nombre réel}, $q = \frac{a}{b} \in \mathbb{R}$.
     On vient donc de montrer que $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

   On conclue alors la preuve par la synthèse suivante : \[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]

   (Intersection)

   Soient $A$ et $B$ deux ensembles.
   On appelle intersection de $A$ et de $B$, et on note $A\color{red}\cap B$, l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ et dans $B$.
   Si un élément $x$ est dans $A$ et dans $B$ alors on notera : $x \in A~\color{red}\land~x \in B$.
   Autrement dit : \[ A \color{red}\cap B = \left\{x ~\middle|~ x\in A \land x \in B\right\} \]

   (Union)

   Soient $A$ et $B$ deux ensembles.
   On appelle union ou bien réunion de $A$ et de $B$, et on note $A\color{red}\cup B$, l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$.
   Si un élément $x$ est dans $A$ ou dans $B$ alors on notera : $x \in A~\color{red}\lor~x \in B$.
   Autrement dit : \[ A \color{red}\cup B = \left\{x ~\middle|~ x\in A \lor x \in B\right\} \]

   (Ensemble vide)

   On appelle ensemble vide l'ensemble qui ne contient aucun élément. On le note $\emptyset$. Il peut être défini par : \[ \color{red}\emptyset = \left\{\right\} \]

   (Intervalle réel)

   On appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels $a$ et $b$ constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.
   En fonction de si les bornes sont incluses ou non dans l'intervalle, on distingue les intervalles :
   Intervalle ouvert : ${\displaystyle ]a;b[\;=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$
   Intervalle fermé : ${\displaystyle [a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a \leqslant x \leqslant b\}}$
   Intervalle semi-ouvert à gauche : ${\displaystyle ]a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x \leqslant b\}}$
   Intervalle semi-ouvert à droite : ${\displaystyle [a;b[\;=\{x\in \mathbb {R} \mid a \leqslant x<b\}}$

   (Négation)

   Soit $P$ une proposition.
   On appelle négation de $P$ la proposition qui est vraie lorsque $P$ est fausse, et qui est fausse lorsque $P$ est vraie. On note la négation de $P$ par $\color{red}\lnot P$ et se lit « non $P$ ».
   En d'autres termes, la négation d'une proposition affirme exactement le contraire de cette proposition.
   On peut résumer la situation dans une table de vérité : \begin{array}{c|c} P & \lnot P \\ \hline \hline V & F \\ \hline F & V \end{array} avec $V$ l'abréviation de $Vrai$ et $F$ l'abréviation de $Faux$.

   (Raisonnement par l'absurde)

   On appelle raisonnement par l'absurde une méthode de démonstration qui consiste à supposer la négation de ce que l'on veut prouver. En développant les conséquences logiques de cette supposition, on aboutit à une contradiction, ce qui permet de conclure que la supposition initiale est $fausse$ et donc que sa négation qui est la proposition que l'on voulait démontrer est $vraie$.

   ($\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$)

   $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal. Autrement dit : \[ \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \]

   Soit $P$ la proposition définie par : \[ P : \text{«} \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \text{»} \] Pour montrer la proposition $P$, on va utiliser le raisonnement par l'absurde. Supposons $\lnot P$ : \[ \lnot P : \text{« } \frac{1}{3} \in \mathbb{D} \text{ »} \] Autrement dit : supposons que $\dfrac{1}{3}$ soit un nombre décimal. Alors, il existe deux entiers relatifs $a$ et $n$ tels que : \[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n} \] En multipliant les deux membres de l'égalité par $3 \times 10^n$, on obtient : \[ \begin{aligned}[t] & & \frac{1}{3} \times 3 \times 10^n & = \frac{a}{10^n} \times 3 \times 10^n \\ \Leftrightarrow \quad & & 1 \times 10^n & = a \times 3 \\ \Leftrightarrow \quad & & 10^n & = 3a \end{aligned} \] Cette égalité implique que $10^n$ est un multiple de $3$. Or, la somme des chiffres de $10^n$ est toujours égale à $1$ : \[ 1 + n \times 0 = 1 + 0 = 1 \] Un nombre est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
   Comme 1 n'est pas un multiple de $3$, on aboutit à une contradiction.
   Par conséquent, notre hypothèse $\lnot P$ de départ est fausse et donc $P$ est vraie.
   Autrement dit : $\dfrac{1}{3}$ ne peut pas être un nombre décimal.