Enseignement de 2^de 2025-2026

Ensembles de nombres

1. Ensembles usuels

   (Ensemble)

   On appelle ensemble un rassemblement d'objets distincts. Il est généralement noté par une lettre majuscule. Si deux ensembles distincts possèdent la même lettre, on les distingue avec des indices.
   Exemple : La classe de Seconde 6 forme un ensemble noté $S_6$. On peut l'écrire en extension : $S_6 = \left\{ \text{Şeyma} ; \text{Déborah} ; \ldots \right\}$ (notation en extension), ou en compréhension : $P_r = \left\{ \text{pomme} ~\middle|~ \text{pomme est rouge}\right\}$.

   (Elément)

   Soit $E$ un ensemble.
   On appelle élément de $E$ tout objet appartenant à $E$.
   Si $x$ est un objet de $E$, on dira que $x$ appartient à $E$ et on notera $x \color{red}\in E$.
   Si $x$ n'est pas un objet de $E$, on dira que $x$ n'appartient pas à $E$ et on notera $x \color{red}\notin E$.

   (Ensemble des entiers naturels)

   On appelle ensemble des entiers naturels l'ensemble des nombres entiers qui sont positifs.
   On note $\mathbb{N}$ cet ensemble. On a donc : \[ \mathbb{N} = \left\{ n ~\middle|~ n \text{ est un nombre entier positif}\right\} = \left\{0;1;2;3;4;5;6;7;...\right\} \]

   (Ensemble des entiers relatifs)$\label{Nombre relatif}$

   On appelle ensemble des entiers relatifs l'ensemble des nombres entiers qui sont positifs ou négatifs.
   On note cet ensemble $\mathbb{Z}$ et on a : \[ \mathbb{Z} = \left\{n ~\middle|~ n \text{ est un nombre entier positif ou négatif} \right\} = \left\{... ;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\right\} \]

   (Ensemble des décimaux)

   On appelle ensemble des nombres décimaux l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre de chiffres fini après la virgule. Donc il peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$.
   On note cet ensemble $\mathbb{D}$ et on a : \[ \mathbb{D} = \left\{\frac{a}{10^n} ~\middle|~ a \in \mathbb{Z} , n \in \mathbb{N} \right\} \]

   (Exclusion du nombre 0)

   En cas de besoin, il est possible d'exclure le nombre $0$ d'un ensemble à l'aide du symbole $^*$. Ainsi :

   \begin{aligned} \mathbb{N}^* & = \left\{1;2;3;4;5;6;7;...\right\} \\ \mathbb{Z}^* & = \left\{... ;-3;-2;-1;1;2;3;...\right\} \\ \text{etc.} \end{aligned}

   (Fraction)

   On appelle fraction l'écriture d'un quotien avec un numérateur entier et un dénominateur non nul entier.
   Si l'écriture $\frac{a}{b}$ est une fraction, alors $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$.
   Exemple : $\frac{0,5}{1,5}$ n'est pas une fraction car $0,5 \notin \mathbb{Z}$, alors que $\frac{5}{15}$ est une fraction car $5 \in \mathbb{Z}$ et $15 \in \mathbb{Z}^*$.

   (Ensemble des nombres rationnels)

   On appelle ensemble des nombres rationnels l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction. On note cet ensemble $\mathbb{Q}$ et on a : \[ \mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} ~\middle|~ a \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{N} ^* \right\} \]

   (Infini)

   On appelle infini une limite que les nombres ne pourront jamais atteindre.
   On note $+\infty$ la limite dont tous les nombres sont plus petits.
   On note $-\infty$ la limite dont tous les nombres sont plus grands.
   Il est important de souligner que $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres. Ils ne peuvent pas être utilisés dans les opérations (addition, multiplication, etc.).

   (Ensemble des nombres réels)

   On appelle ensemble des nombres réels l'ensemble des nombres qui sont plus petit que $+\infty$ et qui sont plus grand que $-\infty$.
   On note cet ensemble $\mathbb{R}$.

   (Ensemble des nombres irrationnels)

   On appelles ensemble des nombres irrationnels l'ensemble des nombres qui sont réels et qui ne sont pas rationnels. On le note $\mathbb{Q}'$ ou encore $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. On a donc : \[ \mathbb{Q}' = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} = \left\{x ~\middle|~ x \in \mathbb{R} , x \notin \mathbb{Q} \right\} \]

   (Diagramme d'Euler)

   On appelle diagramme d'Euler une représentation graphique utilisée pour illustrer les relations entre différents ensembles.
   La zone hachuré dans un diagramme d'Euler des ensembles usuels représente $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

   (Quantificateur universel)

   On appelle quantificateur universel un opérateur logique, noté $\forall$, utilisé pour exprimer l'idée que tous les éléments d'un ensemble donné possèdent une certaine propriété.
   Le symbole $\forall$ se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
   Exemples : $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0$  ;  $\forall x \in \mathbb{R},\ x + (-x) = 0$.

   (Quantificateur existentiel)

   On appelle quantificateur existentiel un opérateur logique, noté $\exists$ , utilisé pour exprimer l'idée qu'il existe au moins un élément dans un ensemble donné qui possède une certaine propriété. Si cette propriété est vérifiée par un unique élément on notera alors $\exists !$.
   Le symbole $\exists$ se lit « il existe ». Le symbole $\exists !$ se lit « il existe un unique ».
   Exemples : $\exists n \in \mathbb{N},\ n \geqslant 10$  ;  $\exists x \in \mathbb{R},\ x \times x = 25$.

   (Inclusion, sous-ensemble, sur-ensemble)

   Soient $A$ et $B$ deux ensembles.
   On dit que $A$ est inclus dans $B$, et on note $A \color{red}\subset B$, si tous les éléments de $A$ sont aussi des éléments de $B$.
   Dans ce cas, on dit aussi que $A$ est un sous-ensemble de $B$, ou encore que $B$ est un sur-ensemble de $A$.
   Autrement dit : \[ A \color{red}\subset B \quad \Leftrightarrow \quad \forall a \in A,\ a \in B \]
   Si $A$ n'est pas inclus dans $B$ on notera $A \color{red}\not\color{red}\subset B$.

   (Inclusion des ensembles usuels)

   • $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$
   • $\mathbb{Z}$ est un sous-ensemble de $\mathbb{D}$ : $\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$
   • $\mathbb{Q}$ est un sur-ensemble de $\mathbb{D}$ : $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$
   • $\mathbb{Q}$ est inclus dans $\mathbb{R}$ : $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

   Autrement dit : \[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]

   • Soit $n \in \mathbb{N}$.
     Donc $n$ est un entier positif. Mais d'après la définition des nombres relatifs, tout entier positif ou négatif appartient à $\mathbb{Z}$ donc $n \in \mathbb{Z}$. On en conclue que $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$.
   • Soit $n \in \mathbb{Z}$. \[ n = \frac{n}{1} = \frac{n}{10^0} \] Donc d'après la définition des décimaux, $n \in \mathbb{D}$. On en conclue que $\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$.
   • Soit $d \in \mathbb{D}$. Donc $\exists a \in \mathbb{Z}, \exists n \in \mathbb{N},\ d = \frac{a}{10^n}$. Si $n \geqslant 0$, l'écriture $\frac{a}{10^n}$ est une fraction avec $a \in \mathbb{Z}$ et $10^n \in \mathbb{N}^*$, donc $d \in \mathbb{Q}$. On en conclue que $\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$.
   • Soit $q \in \mathbb{Q}$. Donc $\exists a \in \mathbb{Z}, \exists b \in \mathbb{N}^*,\ q = \frac{a}{b}$. Ce quotient est forcément plus grand que $-\infty$ et plus petit que $+\infty$. Donc $q \in \mathbb{R}$. On conclue que $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

   On conclue alors : \[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \]

   (Intersection)

   Soient $A$ et $B$ deux ensembles.
   On appelle intersection de $A$ et de $B$, et on note $A\color{red}\cap B$, l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ et dans $B$.
   Autrement dit : \[ A \color{red}\cap B = \left\{x ~\middle|~ x\in A \land x \in B\right\} \]

   (Union)

   Soient $A$ et $B$ deux ensembles.
   On appelle union ou bien réunion de $A$ et de $B$, et on note $A\color{red}\cup B$, l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$.
   Autrement dit : \[ A \color{red}\cup B = \left\{x ~\middle|~ x\in A \lor x \in B\right\} \]
   Exemple : $\{2;4;6;7;8;10\} \cap \{3;4;8;12\} = \{4;8\}$  ;  $\{2;4;6;7;8;10\} \cup \{3;4;8;12\} = \{2;3;4;6;7;8;10;12\}$.

   (Ensemble vide)

   On appelle ensemble vide l'ensemble qui ne contient aucun élément. On le note $\emptyset$. Il peut être défini par : \[ \color{red}\emptyset = \left\{\right\} \]

   (Intervalle réel)

   On appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels $a$ et $b$ constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.
   En fonction de si les bornes sont incluses ou non dans l'intervalle, on distingue les intervalles :
   Intervalle ouvert : ${\displaystyle ]a;b[\;=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$
   Intervalle fermé : ${\displaystyle [a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a \leqslant x \leqslant b\}}$
   Intervalle semi-ouvert à gauche : ${\displaystyle ]a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x \leqslant b\}}$
   Intervalle semi-ouvert à droite : ${\displaystyle [a;b[\;=\{x\in \mathbb {R} \mid a \leqslant x<b\}}$

   (Négation)

   Soit $P$ une proposition.
   On appelle négation de $P$ la proposition qui est vraie lorsque $P$ est fausse, et qui est fausse lorsque $P$ est vraie. On note la négation de $P$ par $\color{red}\lnot P$ et se lit « non $P$ ».
   On peut résumer la situation dans une table de vérité : \begin{array}{c|c} P & \lnot P \\ \hline \hline V & F \\ \hline F & V \end{array} avec $V$ l'abréviation de $Vrai$ et $F$ l'abréviation de $Faux$.

   (Raisonnement par l'absurde)

   On appelle raisonnement par l'absurde une méthode de démonstration qui consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver. En développant les conséquences logiques de cette supposition, on aboutit à une contradiction, ce qui permet de conclure que la supposition initiale était fausse et donc que la proposition que l'on voulait démontrer est vraie.

   ($\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$)

   $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal. Autrement dit : \[ \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \]

   Soit $P$ la proposition définie par : \[ P : \text{«} \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \text{»} \] Pour montrer la proposition $P$, on va utiliser le raisonnement par l'absurde. Supposons $\lnot P$ : \[ \lnot P : \text{« } \frac{1}{3} \in \mathbb{D} \text{ »} \] Autrement dit : supposons que $\dfrac{1}{3}$ soit un nombre décimal. Alors, il existe deux entiers relatifs $a$ et $n$ tels que : \[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n} \] En multipliant les deux membres de l'égalité par $3 \times 10^n$, on obtient : \[ \begin{aligned}[t] & & \frac{1}{3} \times 3 \times 10^n & = \frac{a}{10^n} \times 3 \times 10^n \\ \Leftrightarrow \quad & & 1 \times 10^n & = a \times 3 \\ \Leftrightarrow \quad & & 10^n & = 3a \end{aligned} \] Cette égalité implique que $10^n$ est un multiple de $3$. Or, la somme des chiffres de $10^n$ est toujours égale à $1$ : \[ 1 + n \times 0 = 1 + 0 = 1 \] Un nombre est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
   Comme 1 n'est pas un multiple de $3$, on aboutit à une contradiction.
   Par conséquent, notre hypothèse $\lnot P$ de départ est fausse et donc $P$ est vraie.
   Autrement dit : $\dfrac{1}{3}$ ne peut pas être un nombre décimal.

Projeté orthogonal

1. Géométrie du plan

   (Plan euclidien)

   On appelle plan euclidien une surface plane infinie, qui s'étend indéfiniment dans toutes les directions. Tout élément de cette surface qui n'a pas d'épaisseur ni de longueur est appelé point. L'ensemble de tous ces points forme un ensemble noté $\mathscr{P}$.

   (Droite)

   Soit $\mathscr{P}$ un plan euclidien. On appelle droite de $\mathscr{P}$ tout ensemble formé par un alignement parfait de points dans ce plan qui s'étend à l'infini dans les deux sens.
   On peut noter une droite $\mathscr{D}$, $\Delta$, $d$, $\delta$, etc. Si $A$ et $B$ sont deux points d'une droite $\mathscr{D}_1$, on peut aussi noter cette droite $(AB)$, et on a $(AB) = \mathscr{D}_1$.

   (Projeté orthogonal)

   On appelle projeté orthogonal d'un point sur une droite le point d'intersection de cette droite avec la droite perpendiculaire passant par le point initial.
   Autrement dit : soient $M \in \mathscr{P}$ et une droite $\mathscr{D} \subset \mathscr{P}$. \[ \text{\color{red}$H$} \text{ est le projeté orthogonal de } M \text{ sur } \mathscr{D} \quad \Leftrightarrow \quad (M\color{red}H) \perp \mathscr{D} ~\text{ et }~ \color{red}H \in \mathscr{D} \]

   (Distance d'un point à une droite)

   On appelle distance d'un point à une droite la longueur minimale parmi toutes les longueurs des segments qui relient ce point à un point quelconque de la droite.
   Soient $M \in \mathscr{P}$, une droite $\mathscr{D} \subset \mathscr{P}$ et $X \in \mathscr{D}$. La longueur $\color{red}XM$ est la distance entre $M$ et $\mathscr{D}$ si et seulement si : \[ \forall Y \in \mathscr{D}, \ \color{red}XM \leqslant YM \]

   (Longueur la plus courte d'un point à une droite)

   Soient un point $M \in \mathscr{P}$, une droite $\mathscr{D} \subset \mathscr{P}$ et $H \in \mathscr{D}$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathscr{D}$. La plus courte distance entre $M$ et n'importe quel point de la droite $\mathscr{D}$ est $H$. Autrement dit : \[ \forall X \in \mathscr{D}, \quad HM \leqslant XM \]

   Soit $X \in \mathscr{D}$ un point quelconque. Par définition de $H$ (projeté orthogonal), $MHX$ est un triangle rectangle en $H$. Donc d'après le théorème de Pythagore : \[ MH^2 + HX^2 = MX^2 \] $HX^2$ est un carré donc $HX^2 \geqslant 0$. On en déduit : \[ MH^2 \leqslant MX^2 \] En prenant les racines carrées (la fonction racine est croissante) : \[ HM \leqslant MX \] Donc la distance la plus courte entre $M$ et $\mathscr{D}$ est $HM$.

   (Première identité trigonométrique pythagoricienne)

   Soient $M \in \mathscr{P}$, $X \in \mathscr{D}$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathscr{D}$. \[ \biggl(\cos{\left(\widehat{MXH}\right)}\biggr)^2 + \biggl(\sin{\left(\widehat{MXH}\right)}\biggr)^2 = 1 \]

   Le triangle $MHX$ est rectangle en $H$. Donc d'après les définitions élémentaires des fonctions sinus et cosinus : \[ \cos(\widehat{MXH}) = \frac{HX}{MX} \qquad \sin(\widehat{MXH}) = \frac{HM}{MX} \] En élevant au carré et en additionnant : \[ \left(\cos(\widehat{MXH})\right)^2 + \left(\sin(\widehat{MXH})\right)^2 = \frac{HX^2 + HM^2}{MX^2} = \frac{MX^2}{MX^2} = 1 \] où on a utilisé le théorème de Pythagore $HX^2 + HM^2 = MX^2$.

Fonctions (partie géométrique)

1. Notions de base

   (Fonction)

   On appelle fonction de $E$ dans $F$ une application qui à tout élément $x \in E$ associe un unique élément $y \in F$. On note alors $f : E \to F$ et on écrit $y = f(x)$.
   Exemple : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$. On a $f(0) = 3$, $f(1) = 5$, $f(2) = 7$, $f(-1) = 1$.

   (Image et antécédent)

   Soient $f : E \to F$ une fonction, $x \in E$ et $y \in F$ tels que $y = f(x)$.
   $y$ est appelée l'image de $x$ par $f$. En effet, $x$ n'a qu'une seule image.
   $x$ est appelé un antécédent de $y$ par $f$. En effet, $y$ peut avoir plusieurs antécédents.

   (Courbe représentative d'une fonction)

   La courbe représentative de la fonction $f$, notée $\mathscr{C}_f$, est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont les couples $(x ~; f(x))$ où $x$ est un élément de l'ensemble de départ $E$.

   (Ensemble de définition d'une fonction)

   On appelle ensemble de définition de $f$ l'ensemble des éléments de $E$ qui ont une image par $f$ qui existe. On le note $\mathscr{D}_f$ : \[ \color{red}\mathscr{D}_f = \color{red}\left\{ x \in E ~\middle|~ f(x) \text{ existe} \right\} \]

   (Lecture graphique)

   Pour lire l'image $y$ d'un antécédent $x$ : on trace la droite verticale par $x$ jusqu'à $\mathscr{C}_f$, puis la droite horizontale jusqu'à l'axe des ordonnées ; on lit l'ordonnée.
   Pour lire les antécédents de $y$ : on trace la droite horizontale par $y$ jusqu'à $\mathscr{C}_f$ (un ou plusieurs points), puis les droites verticales jusqu'à l'axe des abscisses ; on lit les abscisses.

   (Appartenance d'un point à une courbe représentative)

   Un point $A(x_A ~;~ y_A)$ appartient à $\mathscr{C}_f$ si et seulement si $y_A = f(x_A)$. \[\color{red} A(x_A ~;~ y_A) \in \mathscr{C}_f \iff y_A = f(x_A) \]

   (Équation)

   On appelle équation une égalité avec une ou plusieurs inconnues généralement notées par des lettres.

   (Solution d'une équation)

   On appelle solution de l'équation toute valeur qui, en remplaçant les inconnues dans l'équation, transforme l'égalité en une égalité vraie. L'ensemble des solutions est généralement noté $\mathscr{S}$.

   (Résoudre une équation)

   Résoudre une équation, c'est déterminer son ensemble de solutions.

   (Résolution graphique d'une équation)

   1. Pour résoudre $f(x) = y_0$ : on lit les antécédents de $y_0$ sur $\mathscr{C}_f$ (droite horizontale $y = y_0$).
   2. Pour résoudre $f(x) = g(x)$ : les solutions sont les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

   (Inéquation)

   On appelle inéquation une inégalité avec une ou plusieurs inconnues.

   (Résolution graphique d'une inéquation)

   Pour résoudre $f(x) < y_0$ : on repère les parties de $\mathscr{C}_f$ strictement en-dessous de la droite $y = y_0$, et on lit les abscisses correspondantes.
   Pour résoudre $f(x) < g(x)$ : on repère les parties de $\mathscr{C}_f$ strictement en-dessous de $\mathscr{C}_g$, et on lit les abscisses correspondantes.

   (Tableau de signes)

   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$. On appelle tableau de signes de $f$ un tableau qui permet de visualiser le signe de $f(x)$ sur $I$.

   (Variation d'une fonction)

   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$.
   Si $f(x)$ augmente lorsque $x$ augmente, on dit que $f$ est croissante.
   Si $f(x)$ diminue lorsque $x$ augmente, on dit que $f$ est décroissante.
   Si $f(x)$ ne change pas lorsque $x$ augmente, on dit que $f$ est constante.
   On dit que $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si les inégalités sont strictes.

   (Extremum local)

   On appelle extremum local l'ordonnée de tout point de la courbe représentative de $f$ où il y a un changement de variation.
   Si $f$ passe de croissante à décroissante, on parle de maximum local ; si $f$ passe de décroissante à croissante, on parle de minimum local.

   (Tableau de variations)

   On appelle tableau de variations de $f$ un tableau qui permet de visualiser les variations de $f$ sur $I$.

Proportions et pourcentages

1. Populations et proportions

   (Population)

   On appelle population un ensemble d'individus ou d'objets. Comme pour les ensembles, une population est souvent notée par une lettre majuscule.

   (Sous-population)

   Soit $E$ une population. On appelle sous-population de $E$ une population $F$ qui est un sous-ensemble de $E$ : $F \subset E$.

   (Effectif d'une population)

   On appelle effectif d'une population le nombre d'éléments de cette population. L'effectif de $E$ est généralement noté $n_E$.

   (Proportion)

   Soient deux populations $E$ et $F$ telles que $F \subset E$. On appelle proportion de $F$ dans $E$ le nombre $p$ tel que : \[ \color{red}p = \dfrac{n_F}{n_E} \] Exemple : Dans une classe de 30 élèves avec 18 filles, la proportion de filles est $p = \frac{18}{30} = 0{,}6 = 60\%$.

   (Proportion entre $0$ et $1$)

   Soient $E$ une population, $F$ une sous-population et $p$ la proportion de $F$ dans $E$. On a toujours : \[ \color{red}0 \leqslant p \leqslant 1 \]

   Comme $F \subset E$, on a $0 \leqslant n_F \leqslant n_E$. En divisant par $n_E > 0$ : \[ 0 \leqslant \frac{n_F}{n_E} \leqslant 1 \quad \Rightarrow \quad 0 \leqslant p \leqslant 1 \]

   (Pourcentage de pourcentage)

   Soient $E$, $A$ et $B$ trois populations telles que $B \subset A \subset E$, $p_1$ la proportion de $A$ dans $E$ et $p_2$ la proportion de $B$ dans $A$. La proportion $p$ de $B$ dans $E$ est : \[ \color{red}p = p_1 \times p_2 \]

   $p_1 = \frac{n_A}{n_E}$ et $p_2 = \frac{n_B}{n_A}$. En multipliant : \[ p_1 \times p_2 = \frac{n_A}{n_E} \times \frac{n_B}{n_A} = \frac{n_B}{n_E} = p \]

Multiples et diviseurs

1. Divisibilité

   (Multiple, divise, diviseur, divisibilité)

   Soient $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$. On dit que $a$ est un multiple de $b$ si et seulement s'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\color{red}a = b \times k$. Dans ce cas, on dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ (ou $b$ divise $a$, ou $a$ est divisible par $b$).
   Exemples : $15 = 3 \times 5$ donc $15$ est un multiple de $3$ ; $0 = b \times 0$ donc $0$ est un multiple de tout entier non nul.

   (Somme de multiples)

   Soient $a, b \in \mathbb{Z}$ et $c \in \mathbb{Z}^*$. Si $a$ et $b$ sont des multiples de $c$, alors $a + b$ est un multiple de $c$.

   (Critères de divisibilité)

   Soit $a \in \mathbb{Z}$.
   $a$ est un multiple de $2$ $\Leftrightarrow$ le chiffre des unités de $a$ est $0, 2, 4, 6$ ou $8$.
   $a$ est un multiple de $3$ $\Leftrightarrow$ la somme des chiffres de $a$ est un multiple de $3$.
   $a$ est un multiple de $5$ $\Leftrightarrow$ le chiffre des unités de $a$ est $0$ ou $5$.
   $a$ est un multiple de $9$ $\Leftrightarrow$ la somme des chiffres de $a$ est un multiple de $9$.
   $a$ est un multiple de $10$ $\Leftrightarrow$ le chiffre des unités de $a$ est $0$.

   (Nombre pair, impair)

   On appelle nombre pair un entier relatif qui est un multiple de $2$ : $\exists k \in \mathbb{Z},\ a = 2k$.
   On appelle nombre impair un entier relatif qui n'est pas un multiple de $2$ : $\exists k \in \mathbb{Z},\ a = 2k + 1$.

   (Carré d'un nombre pair, impair)

   Le carré d'un nombre pair est un nombre pair. Le carré d'un nombre impair est un nombre impair.

   Si $a = 2k$ alors $a^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$, qui est pair.
   Si $a = 2k+1$ alors $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, qui est impair.

Vecteurs du plan (partie géométrique)

1. Vecteurs

   (Vecteur)

   Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. On appelle vecteur $\overrightarrow{AB}$ la translation qui transforme le point $A$ en $B$. Le point $A$ est appelé origine et $B$ est appelé extrémité du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
   Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par :

   • sa direction : la droite $(AB)$,
   • son sens : de $A$ vers $B$,
   • sa norme : la distance $AB$.

   (Vecteurs égaux)

   Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On note alors $\color{red}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

   (Vecteur nul)

   On appelle vecteur nul, noté $\overrightarrow{0}$, le vecteur $\overrightarrow{AA}$ pour tout point $A$.

   (Parallélogramme et vecteurs égaux)

   $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow$ $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

   (Représentant d'un vecteur)

   On dit que $\overrightarrow{AB}$ est un représentant du vecteur $\overrightarrow{u}$ si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$. Un vecteur est noté par une lettre minuscule (ex. $\overrightarrow{u}$).

   (Vecteur opposé)

   Soient $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$. On appelle vecteur opposé de $\overrightarrow{u}$, noté $-\overrightarrow{u}$, le vecteur $\overrightarrow{BA}$. \[ \color{red}-\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \]

   (Somme de vecteurs)

   Soient $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC}$. On appelle somme $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ le vecteur $\color{red}\overrightarrow{AC}$.

   (Soustraction de vecteurs)

   $\color{red}\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v})$

   (Règles de calculs sur les vecteurs)

   La somme de vecteurs est commutative : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$.
   La somme de vecteurs est associative : $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$.
   Élément neutre : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}$.
   Élément symétrique : $\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0}$.

   (Relation de Chasles)

   Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. \[ \color{red}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]

   (Somme de vecteurs de même origine)

   $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow ABDC$ est un parallélogramme.

   (Produit d'un vecteur par un scalaire)

   Soient $\overrightarrow{u}$ un vecteur et $k \in \mathbb{R}$. On appelle produit $k \times \overrightarrow{u}$ le vecteur $\overrightarrow{AC}$ tel que :

   • si $k > 0$ : $A$, $B$, $C$ alignés, même sens, $AC = k \times AB$,
   • si $k < 0$ : $A$, $B$, $C$ alignés, sens opposé, $AC = |k| \times AB$,
   • si $k = 0$ : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$.

Valeur absolue et distance dans le plan

1. Valeur absolue

   (Encadrement décimal, amplitude)

   Soient $x \in \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{D}$ et $b \in \mathbb{D}$ tels que $a < b$. On appelle encadrement décimal de $x$ : $\color{red}a \leqslant x \leqslant b$. L'amplitude de cet encadrement est $b - a$.
   Exemple : $1{,}40 \leqslant \sqrt{2} \leqslant 1{,}42$ est un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude $0{,}02$.

   (Valeur absolue)

   Soit $x \in \mathbb{R}$. On appelle valeur absolue de $x$, notée $|x|$, la distance entre $x$ et $0$ : \[\color{red} |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \] Exemples : $|5| = 5$ ; $|-3| = 3$.

   (Propriétés de la valeur absolue)

   Soient $x$ et $y$ deux réels.
   $|x| \geqslant 0$ ; $|0| = 0$ ; $|x \times y| = |x| \times |y|$ ; $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$ ($y \neq 0$) ; $|x + y| \leqslant |x| + |y|$ (inégalité triangulaire).

   (Distance entre deux abscisses)

   Soient $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$. On appelle distance entre les abscisses $x_1$ et $x_2$, notée $d(x_1;x_2)$ : \[ \color{red}d(x_1;x_2) = |x_2 - x_1| \]

   (Intervalle et valeur absolue)

   Soient $a \in \mathbb{R}$ et $r \in \mathbb{R}_+$. \[ \color{red}|x - a| \leqslant r \iff a - r \leqslant x \leqslant a + r \] ce qui correspond à l'intervalle $[a - r ; a + r]$. \[ \color{red}|x - a| < r \iff a - r < x < a + r \] ce qui correspond à l'intervalle $]a - r ; a + r[$.

Fonctions (partie algébrique)

1. Calculs algébriques

   (Calcul de l'image)

   Pour calculer l'image de $a$ par la fonction $f$, on remplace chaque occurrence de $x$ dans $f(x)$ par $a$ puis on effectue les calculs.
   Exemple : $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$ ; $f(2) = 8 - 6 + 4 = 6$ ; $f(-1) = 2 + 3 + 4 = 9$.

   (Calcul des antécédents)

   Pour calculer les antécédents de $b$ par la fonction $f$, on résout l'équation $f(x) = b$ dans $\mathscr{D}_f$.

   (Valeur interdite)

   On appelle valeur interdite de $f$ toute valeur que $f$ ne peut pas transformer. Si $a$ est une valeur interdite, alors $a \notin \mathscr{D}_f$.

   (Règles élémentaires des valeurs interdites)

   Dans $\mathbb{R}$ :

   • on ne peut pas diviser par $0$ ;
   • la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.

   (Calcul de l'ensemble de définition)

   Pour calculer $\mathscr{D}_f$, on détermine les valeurs interdites puis on en déduit l'ensemble de définition.
   Exemples : $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ : $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$, donc $\mathscr{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. $g(x) = \sqrt{5-x}$ : $5 - x \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 5$, donc $\mathscr{D}_g = ]-\infty ; 5]$.

   (Tableau de valeurs)

   On appelle tableau de valeurs d'une fonction $f$ un tableau présentant des valeurs de $\mathscr{D}_f$ et les images correspondantes par $f$.

   (Construction d'une courbe représentative)

   Pour construire la courbe représentative de $f$ : on construit un tableau de valeurs, on place les points dans un repère, puis on les relie par une courbe lisse.

Repérage dans le plan

1. Repères et coordonnées

   (Repère cartésien)

   On appelle repère cartésien d'un plan un triplet de points $O$, $I$ et $J$ non alignés. On note $\left( O ; I , J \right)$ ce repère, avec $O$ l'origine, $(OI)$ l'axe des abscisses, $(OJ)$ l'axe des ordonnées.

   (Coordonnées d'un point)

   Pour tout point $M$ du plan, les coordonnées de $M$ dans $\left( O ; I , J \right)$ sont l'unique couple $(x_M, y_M)$ avec $x_M$ l'abscisse et $y_M$ l'ordonnée.

   (Repère orthogonal, normé, orthonormé)

   Repère orthogonal : les axes sont perpendiculaires.
   Repère normé : les longueurs unités des deux axes sont égales.
   Repère orthonormé : à la fois orthogonal et normé.

   (Milieu d'un segment)

   Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points. Les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont : \[ \color{red}M \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right) \]

   (Longueur d'un segment)

   Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ deux points. La longueur $AB$ est : \[ \color{red}AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Fonctions affines

1. Définition et propriétés

   (Fonction affine)

   Soient $a, b \in \mathbb{R}$. On appelle fonction affine toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \color{red}f(x) = ax + b \] $a$ est le coefficient directeur. Si $a = 0$, $f$ est une fonction constante.
   $b$ est l'ordonnée à l'origine. Si $b = 0$, $f$ est une fonction linéaire.
   Exemples : $f(x) = 3x + 2$ (affine) ; $g(x) = -5x + 7$ (affine) ; $m(x) = 4$ (constante) ; $n(x) = \frac{2}{x}+4$ (pas affine).

   (Courbe représentative d'une fonction affine)

   La courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite passant par $(0 ; b)$ avec un coefficient directeur $a$ tel que :

   • $a > 0$ : droite croissante ;
   • $a < 0$ : droite décroissante ;
   • $a = 0$ : droite horizontale.

   Pour une variation des abscisses de $1$ unité, la variation des ordonnées est égale à $a$ unités.

   (Variation d'une fonction affine)

   Si $a > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
   Si $a < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
   Si $a = 0$ : $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.

   (Tableau de signe d'une fonction affine)

   Soient $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$. L'équation $f(x) = 0$ admet pour solution $x = -\frac{b}{a}$.
   Si $a > 0$ : $f(x) < 0$ pour $x < -\frac{b}{a}$ et $f(x) > 0$ pour $x > -\frac{b}{a}$.
   Si $a < 0$ : $f(x) > 0$ pour $x < -\frac{b}{a}$ et $f(x) < 0$ pour $x > -\frac{b}{a}$.

Évolutions et pourcentages

1. Coefficient multiplicateur et taux d'évolution

   (Coefficient multiplicateur)

   Soient une valeur initiale $V_I$ et une valeur finale $V_F$. On appelle coefficient multiplicateur le nombre $C_M$ tel que : \[ V_F = V_I \color{red}\times C_M \] Exemple : Une montre passe de $150$ € à $180$ € : $C_M = \frac{180}{150} = 1{,}2$.

   (Variation absolue)

   On appelle variation absolue la différence $\color{red}V_F - V_I$.

   (Taux d'évolution)

   On appelle taux d'évolution (ou variation relative), noté $t$ : \[ \color{red}t = \frac{V_F - V_I}{V_I} \] Si $t > 0$ : augmentation ; si $t < 0$ : diminution.

   (Coefficient multiplicateur et taux d'évolution)

   \[ \color{red}C_M = 1 + t \qquad \iff \qquad t = C_M - 1 \]

   (Erreur classique des taux d'évolution)

   Une augmentation du taux $t$ suivie d'une diminution du même taux $t$ ne ramène pas à la valeur initiale.
   Exemple : $10$ € augmenté de $10\%$ donne $11$ €, puis $11$ € diminué de $10\%$ donne $9{,}90$ € $\neq 10$ €.

   (Évolution réciproque)

   Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque est : \[ \color{red}C_{M_r} = \frac{1}{C_M} \]

   (Évolutions successives)

   Le coefficient multiplicateur de l'évolution globale de deux évolutions successives de coefficients $C_{M_1}$ et $C_{M_2}$ est : \[ \color{red}C_M = C_{M_1} \times C_{M_2} \]

Vecteurs du plan (partie algébrique)

1. Coordonnées de vecteurs

   (Base)

   Soient $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ deux vecteurs non colinéaires du plan. On appelle base du plan le couple de vecteurs $\left(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)$.

   (Combinaison linéaire)

   On dit que $\color{red}\overrightarrow{u}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ s'il existe deux réels $x$ et $y$ tels que : \[ \color{red}\overrightarrow{u} = \color{red}x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} \]

   (Coordonnées d'un vecteur)

   On appelle coordonnées de $\overrightarrow{u}$ dans la base $\left(\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)$ le couple $(x ; y)$ tel que $\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$. On note : \[ \color{red}\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

   (Coordonnées d'un représentant de vecteur)

   Soient $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$. Les coordonnées du vecteur $\color{red}\overrightarrow{AB}$ sont : \[ \color{red}\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \]

   (Coordonnées d'une somme de vecteurs)

   \[ \color{red}\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} \]

   (Coordonnées d'un produit d'un vecteur par un scalaire)

   \[ \color{red}k\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} \]

   (Norme d'un vecteur)

   Dans un repère orthonormé, la norme du vecteur $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est : \[ \color{red}||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Fonctions de référence

1. Fonctions usuelles

   (Fonction de référence)

   On appelle fonction de référence toute fonction étudiée pour sa simplicité, son exemplarité ou afin de servir de modèle pour d'autres fonctions plus complexes.

   (Fonction carrée)

   On appelle fonction carrée la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\color{red}f(x) = x^2$.

   (Courbe et variations de la fonction carrée)

   La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole dont le sommet est $O(0;0)$, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
   $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$.

   (Fonction cube)

   On appelle fonction cube la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\color{red}f(x) = x^3$.

   (Courbe et variations de la fonction cube)

   La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

   (Fonction inverse)

   On appelle fonction inverse la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $\color{red}f(x) = \frac{1}{x}$.

   (Courbe et variations de la fonction inverse)

   La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.

   (Fonction racine carrée)

   On appelle fonction racine carrée la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par $\color{red}f(x) = \sqrt{x}$.

   (Courbe et variations de la fonction racine carrée)

   La courbe représentative est une demi-parabole passant par $O(0;0)$. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.

   (Fonction valeur absolue)

   On appelle fonction valeur absolue la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\color{red}f(x) = |x|$.

   (Courbe et variations de la fonction valeur absolue)

   La courbe représentative est formée de deux demi-droites perpendiculaires se coupant à l'origine. $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$.

Probabilités

1. Vocabulaire des probabilités

   (Expérience aléatoire)

   On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit à l'avance.
   Exemples : Lancer un dé à six faces ; tirer une carte d'un jeu de 52 cartes ; lancer une pièce de monnaie.

   (Issue)

   On appelle issue un résultat possible d'une expérience aléatoire.

   (Univers)

   On appelle univers l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Il est noté $\Omega$.
   Exemple : Pour un dé à six faces, $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

   (Événement)

   On appelle événement une partie $A$ de l'univers $\Omega$ : $A \subset \Omega$.

   (Cardinal)

   Le cardinal de $A$, noté $\mathrm{card}(A)$, est le nombre d'éléments de cet ensemble.

   (Événement élémentaire)

   On appelle événement élémentaire un événement $A$ qui ne contient qu'une seule issue : $\mathrm{card}(A) = 1$.

   (Événement certain)

   L'événement certain contient toutes les issues : $A = \Omega$.

   (Événement impossible)

   L'événement impossible ne contient aucune issue : $A = \emptyset$.

   (Événement contraire)

   L'événement contraire de $A$, noté $\color{red}\overline{A}$, contient toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$ : \[ \color{red}\overline{A} = \Omega \setminus A \]

   (Événements incompatibles)

   Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $\color{red}A \cap B = \emptyset$.

   (Loi de probabilité)

   On appelle loi de probabilité sur $\Omega$ une fonction $\mathbb{P}$ qui à chaque événement élémentaire associe une probabilité, vérifiant :

   • $\forall A \subset \Omega,\ \mathrm{card}(A) = 1 \implies 0 \leqslant \mathbb{P}(A) \leqslant 1$,
   • la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut $1$.

   (Probabilité)

   La probabilité de $A$, notée $\mathbb{P}(A)$, est la somme des probabilités de chaque événement élémentaire inclus dans $A$.

   (Probabilité bornée)

   $0 \leqslant \mathbb{P}(A) \leqslant 1$ ; $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ ; $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$.

   (Probabilité de l'événement contraire)

   \[ \mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A) \]

   (Probabilité d'une réunion ou d'une intersection)

   \[ \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \]

   (Probabilités d'événements incompatibles)

   Si $A \cap B = \emptyset$ alors $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$.

   (Situation d'équiprobabilité)

   On appelle situation d'équiprobabilité une situation dans laquelle tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

   (Équiprobabilité)

   Dans une situation d'équiprobabilité avec $n = \mathrm{card}(\Omega)$ : \[ \mathbb{P}(A) = \frac{\mathrm{card}(A)}{n} \]

   (Arbre de probabilités)

   On appelle arbre de probabilités un arbre qui permet de représenter une expérience aléatoire en indiquant les probabilités associées à chaque événement étudié.

   (Échantillon)

   On appelle échantillon de taille $n$ d'une expérience aléatoire une liste de $n$ résultats obtenus lors de $n$ répétitions de cette expérience.

   (Fluctuation d'échantillonnage)

   On appelle fluctuation d'échantillonnage la variation de la fréquence observée d'un événement lors de répétitions d'une expérience aléatoire sur plusieurs échantillons d'une même taille.

   (Intervalle de confiance)

   Soit $f$ la fréquence de l'événement $A$ dans un échantillon de taille $n$. Pour un niveau de confiance de $95\%$, l'intervalle de confiance de $\mathbb{P}(A)$ est : \[ \mathbb{P}(A) \in \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] \]

Vecteurs du plan (géométrie analytique)

1. Colinéarité et déterminant

   (Colinéarité, Indépendance linéaire)

   Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.
   $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction, c'est-à-dire : \[ \exists k \in \mathbb{R}^*,\ \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v} \qquad \text{ou} \qquad \exists k' \in \mathbb{R}^*,\ \overrightarrow{v} = k' \overrightarrow{u} \] $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont linéairement indépendants si et seulement s'ils ne sont pas colinéaires : \[ k \overrightarrow{u} + k' \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \iff k = 0 \text{ et } k' = 0 \]

   (Déterminant)

   Soient $\overrightarrow{u_1} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u_2} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs du plan. On appelle déterminant de $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$, noté $\det(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2})$ : \[ \color{red}\det(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}) = x_1 y_2 - x_2 y_1 \]

   (Caractérisation de la colinéarité par le déterminant)

   Deux vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : \[ \overrightarrow{u_1} \text{ et } \overrightarrow{u_2} \text{ sont colinéaires} \iff \det(\overrightarrow{u_1} ; \overrightarrow{u_2}) = 0 \]

   $(\Rightarrow)$ Si $\overrightarrow{u_1} = k\overrightarrow{u_2}$, alors $\det(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}) = kx_2y_2 - x_2ky_2 = 0$.
   $(\Leftarrow)$ Si $\det(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}) = 0$, alors $x_1y_2 = x_2y_1$. Si $x_2 \neq 0$ : $y_1 = \frac{x_1}{x_2}y_2$, donc $\overrightarrow{u_1} = \frac{x_1}{x_2}\overrightarrow{u_2}$, les vecteurs sont colinéaires. Si $x_2 = 0$ : $y_2 = 0$ (ou $x_1 = 0$), donc les vecteurs sont colinéaires.

   (Caractérisation du parallélisme)

   \[ (AB) \parallel (CD) \iff \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{CD} \text{ sont colinéaires} \]

   (Caractérisation de l'alignement)

   \[ A, B \text{ et } C \text{ sont alignés} \iff \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC} \text{ sont colinéaires} \iff \det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) = 0 \]
   Exemple : $A(1;2)$, $B(3;4)$, $C(5;6)$ : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$, $\det = 2 \times 4 - 4 \times 2 = 0$ : alignés.