Analyse Complexe

Rappels sur $\mathbb{C}$

1. Introduction.

   La motivation de la construction de $\mathbb{C}$ est de construire un ensemble qui contient $\mathbb{R}$ dans lequel les nouvelles lois $+$ et $\times$ prolongent les lois $+$ et $\times$ de $\mathbb{R}$ et tel que $x^2=-1$ ai une solution.
   On pose alors $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ et $i \in \mathbb{C}$ tel que $i^2=-1$

2. Rappels.

   (L'ensemble complexe, forme algébrique, partie réel et imaginaire)

   On appel ensemble complexe, l'ensemble noté $\mathbb{C}$ définit par $$ \mathbb{C}=\left\{ a+ib \ \mid \ a \in \mathbb{R} \ , \ b\in\mathbb{R} \right\} $$ L'écriture $a+ib$ est appelée la forme algébrique du nombre complexe.
   $a$ est appelée partie réelle de $z$ et on note $\mathfrak{R}(z)=a$.
   $b$ est appelée partie imaginaire de $z$ et on note $\mathfrak{I}(z)=b$.
   On définit sur $(\mathbb{R}^2,+,×)$ les lois $+$ et $×$ de la façon suivante :
   $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \ \forall y_1 , y_2 \in \mathbb{R}, $ $$(x_1,y_1 )+(x_2,y_2 )=(x_1+x_2 \ , \ y_1+y_2)$$ $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \ \forall y_1 , y_2 \in \mathbb{R}, $ $$(x_1,y_1 )×(x_2,y_2 )=(x_1 x_2-y_1 y_2 \ , \ x_1 y_2+x_2 y_1)$$

   (Addition et multiplication complexe)

   Soit $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ et $y_1, y_2 \in \mathbb{R}$.
   Pour $z_1=x_1+iy_1$ et $z_2=x_2+iy_2$ on définit l'addition complexe par $$z_1+z_2=x_1+x_2+i(y_1+y_2)$$ et la multiplication complexe par $$z_1 × z_2=x_1 x_2-y_1 y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1)$$

   (Module complexe)

   Soit $z \in \mathbb{C}$ et $a, b \in \mathbb{R}$ tel que $z=a+ib$.
   On appel module complexe, l'application définit par $$\mathopen{|}.\mathclose{|} : \left\{\begin{array}{rcl} \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ z & \mapsto & \mathopen{|}z\mathclose{|}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{array}\right.$$

   (???)

   $\forall z \in \mathbb{C} , \quad \mathopen{|}z\mathclose{|}=\sqrt{z\overline{z}}$

   A faire...

   (Forme trigonométrique)

   $\forall z \in \mathbb{C} , \exists \theta \in \mathbb{R}$ tel que $z = |z|( \cos \theta + i \sin \theta )$.

   A faire...

   (Forme Trigonométrique)

   Soit $z \in \mathbb{C}$ et $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $z=\mathopen{|}z\mathclose{|}(\cos \theta + i \sin \theta )$.
   L'écriture $z=\mathopen{|}z\mathclose{|}(\cos \theta + i \sin \theta )$ est appelée forme trigonométrique.
   Le réel $\theta$ est appelé argument de $z$. On note $\arg ⁡z \equiv \theta \quad [2 \pi]$

   (Conjugué)

   Soit $z \in \mathbb{C}$ et $a,b \in \mathbb{R}$ tel que $z=a+ib$.
   On appel conjugué de $z$ le nombre $\overline{z}=a-ib$.

   (???)

   Soit $z \in \mathbb{C}$ et $a,b \in \mathbb{R}$ tel que $z=a+ib$. Alors :

   1. $\begin{array}[t]{rcl} z=0 & \Leftrightarrow & \mathfrak{R}(z)=0=\mathfrak{I}(z) \\ & \Leftrightarrow & a=0 \ \text{ et } \ b=0 \end{array}$
      
      
   2. $\begin{array}[t]{rcl} z \in \mathbb{R} & \Leftrightarrow & \mathfrak{I}(z)=0 \\ & \Leftrightarrow & z=\overline{z} \end{array}$
      
      
   3. On pose $i \mathbb{R} = \left\{ ib \ \mid \ b \in \mathbb{R} \right\}$. On a :
      $\begin{array}[t]{rcl} z \in i \mathbb{R} & \Leftrightarrow & \mathfrak{R}(z)=a=0 \end{array}$
      
      
   4. Soient $z_1 , z_2 \in \mathbb{C}$ on a :
      • $ \mathopen{|} z_1 + z_2 \mathclose{|} \le \mathopen{|} z_1 \mathclose{|} + \mathopen{|} z_2 \mathclose{|} $
      • $\mathopen{|} \mathopen{|} z_1 \mathclose{|} - \mathopen{|} z_2 \mathclose{|} \mathclose{|}$
      • $\arg (z_1,z_2) = \arg z_1)+ \arg(z_2) \quad [2 \pi] $
      • Si $z_2 \ne 0$ , alors : $ \arg (z_1) - \arg (z_2) \quad [2 \pi]$
      • $\frac{|z_1|}{|z_2|} = |\frac{z_1}{z_2}|$
      • $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{|z_2|^2}$

   A faire...

$\mathbb{R}$-différentiabilité, $\mathbb{C}$-différentiabilité et holomotphie

1. $\mathbb{R}$-linéarité, $\mathbb{C}$-linéarité.

   ($\mathbb{R}$-linéarité, $\mathbb{C}$-linéarité)

   Une fonction $l : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ est dite $\mathbb{R}$-linéaire si elle vérifie les deux propriété suivante :

   1. $\forall z_1 \in \mathbb{C} , \quad l(z_1 + z_2) = l(z_1) + l(z_2)$
   2. $ \forall z \in \mathbb{C} , \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, l( \lambda z ) = \lambda l(z)$

   Une fonction $l : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ est dite $\mathbb{C}$-linéaire si elle vérifie les deux propriété suivante :

   1. $\forall z_1 \in \mathbb{C} , \quad l(z_1 + z_2) = l(z_1) + l(z_2)$
   2. $ \forall z \in \mathbb{C} , \quad \forall \lambda \in \mathbb{C}, l( \lambda z ) = \lambda l(z)$

2. Rappels.